Neue Streckenwinkel -"Pythagoras von Samos, hilf mir bitte!"

[MISCHO]

Liebe Gemeinde der BAHNsinnigen und FORENsiker , lieber Jan Bochmann,

nachdem ich mich noch viel zu wenig mit der 3.87 beschäftigt habe, gibt es in der 4.00beta1 mal wieder eine "verwinkelte Denkblockade" für mich. Die Streckenwinkel in der Beta 4.00a sind ja in 22,5°-Teilungen angegeben. Das kann nach meiner unmaßgeblichen Wahrnehmung so aber nicht ganz stimmen. Die Beschäftigung mit selbstgezeichneten Netzschemen, welche die neuen Streckenwinkel aufweisen sollen, um als deckungsgleiche Hintergrundbilder in BAHN angezeigt werden zu können, haben mich darauf gebracht:


(Die neuen Streckenwinkel habe ich etwas gerundet.)

Die Diagonale durch zwei Quadrate ergibt ein gedachtes rechtwinkliges Dreieck mit dem Seitenverhältnis 1 zu 2. Jetzt fehlt der dritte Wert, die Länge unserer Diagonalstrecke. Pythagoras sei Dank, kein Problem: 1² + 2² = 5 ; Quadratwurzelbehandlung 5 = 2,236067977.
Der Dreieckrechner rechnet uns jetzt die Winkel unseres Dreiecks aus:

Eingabe:


Ergebnis:


Hoppla, das sind keine 22,5° und auch keine 67,5°, obwohl doch vermeintlich der 45°-Winkel genau geteilt wird...

Machen wir es mal umgekehrt. Eingabe a = 1, Gammawinkel 90°, Alphawinkel 22,5°, wie in BAHN angegeben:

Eingabe:


Ergebnis:


Das Seitenverhältnis a zu b ist dann keineswegs wie 1 zu 2! Müsste es aber sein, weil ja zwei gleichgroße Quadrate diagonal geschnitten werden.
Bin sehr auf die Aufklärung des geometrischen Phänomens der Winkelteilung, (oder ggf. meines Denkfehlers ), gespannt!

Und da gibt es ursächlich noch eine Frage zu:
Da die diagonalen Strecken ja die gleiche Elementzahl aufweisen wie die entsprechenden Geraden, verlangsamt BAHN ja bekanntermaßen bei 45° die Zuggeschwindigkeit um 1,4 (Wurzel aus 2), um die in Wirklichkeit längere Diagonale nicht zu schnell zu befahren. Nach welchem Parameter wird die reale Streckenlänge und damit Geschwindigkeit bei den neuen Diagonalen berechnet? Der Pythagoras´sche Lehrsatz findet doch wohl auch hier Anwendung?

(Der Dreieckrechner wird zur Verfügung gestellt auf http://rechneronline.de/pi/ von http://jumk.de/ -Webprojekte und Publikationen-)

[Jan Bochmann]

Guten Morgen,

Liebe Gemeinde der BAHNsinnigen und FORENsiker,

nachdem ich mich noch viel zu wenig mit der 3.87 beschäftigt habe, gibt es in der 4.00beta1 mal wieder eine "verwinkelte Denkblockade" für mich. Die Streckenwinkel in der Beta 4.00a sind ja in 22,5°-Teilungen angegeben. Das kann nach meiner unmaßgeblichen Wahrnehmung so aber nicht ganz stimmen. Die Beschäftigung mit selbstgezeichneten Netzschemen, welche die neuen Streckenwinkel aufweisen sollen, um als deckungsgleiche Hintergrundbilder in BAHN angezeigt werden zu können, haben mich darauf gebracht.

Diese Netzschemen könnten dann die gleichen Widersprüche zeigen, wenn man sie auf eine reale Karte abbildet.

Die Diagonale durch zwei Quadrate ergibt ein gedachtes rechtwinkliges Dreieck mit dem Seitenverhältnis 1 zu 2. Jetzt fehlt der dritte Wert, die Länge unserer Diagonalstrecke. Pythagoras sei Dank, kein Problem: 1² + 2² = 5 ; Quadratwurzelbehandlung 5 = 2,236067977.

Bei den kleinen Werten wirken sich Rundungsfehler extrem aus. Zu welcher der Seiten gehören jeweils die Eckpunkte? Wenn da ein Zug entlang fährt, dann passiert er diese Punkte nur einmal und nicht zweimal.

Daher besser, und mathematisch äquivalent: Statt mit 1 und 2 rechne lieber mit 10 und 20 oder 100 und 200. Dann kannst Du von jeder Seite ggf. noch 1 Element abziehen, aber auch wenn nicht, dann wirkt sich das bei größeren Zahlen kaum aus. Allerdings bringt uns das hier auch nicht weiter.

Hoppla, das sind keine 22,5° und auch keine 67,5°, obwohl doch vermeintlich der 45°-Winkel genau geteilt wird...

Dann wird das wohl stimmen.

Das Seitenverhältnis a zu b ist dann keineswegs wie 1 zu 2! Müsste es aber sein, weil ja zwei gleichgroße Quadrate diagonal geschnitten werden.
Bin sehr auf die Aufklärung des geometrischen Phänomens der Winkelteilung, (oder ggf. meines Denkfehlers ), gespannt!

Ich könnte ja jetzt behaupten, daß das alles nur für die Geometrie in der Ebene gilt, aber BAHN natürlich auf einem kugelförmigen Planeten spielt

Das ist aber keine stichhaltige Erklärung.

Und da gibt es ursächlich noch eine Frage zu:
Da die diagonalen Strecken ja die gleiche Elementzahl aufweisen wie die entsprechenden Geraden, verlangsamt BAHN ja bekanntermaßen bei 45° die Zuggeschwindigkeit um 1,4 (Wurzel aus 2), um die in Wirklichkeit längere Diagonale nicht zu schnell zu befahren. Nach welchem Parameter wird die reale Streckenlänge und damit Geschwindigkeit bei den neuen Diagonalen berechnet? Der Pythagoras´sche Lehrsatz findet doch wohl auch hier Anwendung?

Analog dazu mit Wurzel(5)/2.

Ich habe dazu ein ähnlich schematisches Netz gebaut wie Dein oben gezeigtes und dort Meßfahrten durchgeführt (z.B. bei Zugverfolgung wird die zurückgelegte Strecke angezeigt, und die Sollzeiten kann man ausrechnen). Die Genauigkeit der Ergebnisse erscheint mir ausreichend zu sein, zumindest bei üblichen Streckenmaßstäben von 80..140 El/km (entspricht BAHN 3.8x: 40..70 El/km).

Grüße,
Jan B.

[MISCHO]

Hallo Jan, hallo Leute,

Diese Netzschemen könnten dann die gleichen Widersprüche zeigen, wenn man sie auf eine reale Karte abbildet.

Ja, schon richtig, mein Versuch ist, eine reale maßstäbliche Karte mittels Grafikprogramm derart zu verzerren, dass die abgebildeten Straßenbahnstrecken den Streckenwinkeln in BAHN entsprechen. Die Strecken sollen zwar weitgehend in ihrer maßstäblichen Länge bleiben, die Nebenstraßen jedoch gestaucht oder gestreckt werden, also eine Anpassung einer realen Karte an die möglichen Fahrtrichtungen in BAHN. Wie gesagt, ein Versuch...

Bei den kleinen Werten wirken sich Rundungsfehler extrem aus. Zu welcher der Seiten gehören jeweils die Eckpunkte? Wenn da ein Zug entlang fährt, dann passiert er diese Punkte nur einmal und nicht zweimal.
Daher besser, und mathematisch äquivalent: Statt mit 1 und 2 rechne lieber mit 10 und 20 oder 100 und 200. Dann kannst Du von jeder Seite ggf. noch 1 Element abziehen, aber auch wenn nicht, dann wirkt sich das bei größeren Zahlen kaum aus. Allerdings bringt uns das hier auch nicht weiter.

Okay, das ist verstanden, sollte ja auch nur ein Beispiel für das Seitenverhältnis des rechtwinkligen Dreiecks sein.

Dann wird das wohl stimmen.

Jau!

Ich könnte ja jetzt behaupten, daß das alles nur für die Geometrie in der Ebene gilt, aber BAHN natürlich auf einem kugelförmigen Planeten spielt

Das ist aber keine stichhaltige Erklärung.

Ooohhh, BAHN ist gar keine Scheibe?
Kugelmodus eingeschaltet auf 128 Elemente/Äquatorlinie:

Analog dazu mit Wurzel(5)/2.

Das hatte ich annähernd vermutet.

Ich habe dazu ein ähnlich schematisches Netz gebaut wie Dein oben gezeigtes und dort Meßfahrten durchgeführt (z.B. bei Zugverfolgung wird die zurückgelegte Strecke angezeigt, und die Sollzeiten kann man ausrechnen). Die Genauigkeit der Ergebnisse erscheint mir ausreichend zu sein, zumindest bei üblichen Streckenmaßstäben von 80..140 El/km (entspricht BAHN 3.8x: 40..70 El/km).

Okay, das finde ich wohl auch akzeptabel!

Und meine "Verzerr-Karten"-Grafiken erstelle ich sowieso mit einem maßstäblichem Gitternetz auf eigener, nicht mitverzerrter Ebene. Dieses bringe ich dann, mit dem verzerrten Hintergrundbild, mit dem wahlweise voreingestellten Gitternetz von BAHN in Deckung. So brauche ich wohl gar nicht erst mit Winkelangaben zu arbeiten, sondern passe meine Grafiken einfach mittels des Gitternetzes an.
Das sollte dann bei etwas Sorgfalt genau genug sein.

Danke für die freundliche Antwort!

[Jan Bochmann]

Guten Tag,

Hallo Jan, hallo Leute,

Diese Netzschemen könnten dann die gleichen Widersprüche zeigen, wenn man sie auf eine reale Karte abbildet.

Ja, schon richtig, mein Versuch ist, eine reale maßstäbliche Karte mittels Grafikprogramm derart zu verzerren, dass die abgebildeten Straßenbahnstrecken den Streckenwinkeln in BAHN entsprechen. Die Strecken sollen zwar weitgehend in ihrer maßstäblichen Länge bleiben, die Nebenstraßen jedoch gestaucht oder gestreckt werden, also eine Anpassung einer realen Karte an die möglichen Fahrtrichtungen in BAHN. Wie gesagt, ein Versuch...

Ich bin mittlerweile der Meinung, daß die Streckenlängen stimmen. Die Winkel sind aber so krumm wie bei Dir angegeben. Ich habe mal Dein Bild etwas dazu ergänzt:



Die neuen Zwischenlinien (also zwischen 0 und 45 etc.) schneiden die Begrenzungslinie des rechtwinkligen Dreiecks genau in der Mitte. Das ist die Linie, die am unteren Rand hell nachgezeichnet ist (zwischen -90° und -45°). Das sollen sie auch, weil man sonst im "Schachbrett" von BAHN kein nächstes Element sinnvoll ansetzen könnte.

Für einen exakten halben Winkel müßten sie jedoch eigentlich die Linie genau in der Mitte schneiden, die letztlich einen Kreis bildet. Diese habe ich mal grob skizziert von -90 bis 0 in weiß und bis 90 in orange. Man sieht unten rechts deutlich, daß der Schnitt keineswegs in der Mitte ist. Wenn er es aber wäre, dann würde auch die Schrittweite von 22.5° gelten. Das habe ich rechts oben mit den orangen Linien angedeutet. Nur treffen diese Linien eben leider nicht die äußere in der Mitte, sondern ziemlich krumm, und sind daher für unsere Gleisgeometrie nicht geeignet.

Solche Probleme hat wohl jeder, der ein Gleissystem oder etwas ähnliches (Rohre etc.) aus Fertigteilen konstruiert, also z.B. auch alle Modellbahnhersteller. Deshalb bracht man da letztlich immer irgendwelche Ausgleichsstücke und andere Behelfskonstruktionen.

Grüße,
Jan B.

[Max_tom69]

wouhhhhhh echt super und sehr gut geschrieben

[MISCHO]

Hallo Jan,

Ich bin mittlerweile der Meinung, daß die Streckenlängen stimmen. Die Winkel sind aber so krumm wie bei Dir angegeben. Ich habe mal Dein Bild etwas dazu ergänzt:

(b400_winkel1.gif)

Die neuen Zwischenlinien (also zwischen 0 und 45 etc.) schneiden die Begrenzungslinie des rechtwinkligen Dreiecks genau in der Mitte. Das ist die Linie, die am unteren Rand hell nachgezeichnet ist (zwischen -90° und -45°). Das sollen sie auch, weil man sonst im "Schachbrett" von BAHN kein nächstes Element sinnvoll ansetzen könnte.
Für einen exakten halben Winkel müßten sie jedoch eigentlich die Linie genau in der Mitte schneiden, die letztlich einen Kreis bildet. Diese habe ich mal grob skizziert von -90 bis 0 in weiß und bis 90 in orange. Man sieht unten rechts deutlich, daß der Schnitt keineswegs in der Mitte ist. Wenn er es aber wäre, dann würde auch die Schrittweite von 22.5° gelten. Das habe ich rechts oben mit den orangen Linien angedeutet. Nur treffen diese Linien eben leider nicht die äußere in der Mitte, sondern ziemlich krumm, und sind daher für unsere Gleisgeometrie nicht geeignet.

Solche Probleme hat wohl jeder, der ein Gleissystem oder etwas ähnliches (Rohre etc.) aus Fertigteilen konstruiert, also z.B. auch alle Modellbahnhersteller. Deshalb braucht man da letztlich immer irgendwelche Ausgleichsstücke und andere Behelfskonstruktionen.

Okay, so wird es noch deutlicher und der Grund der verschiedenen Winkel in der Gleisgeometrie ist klar geworden. Ich finde die Gleisgeometrie auch völlig in Ordnung so und ich denke, sie ist auch nur so machbar! Ab jetzt brauche ich aber bei meinen Hintergrundbildern keine Konstruktionsfehler mehr einbauen, weil ich mich einfach auf das Gitternetz verlasse und mir so auch die Winkelmessungen ersparen kann.

Vielen Dank noch mal!

wouhhhhhh echt super und sehr gut geschrieben

Danke!